Перпендикулярность прямых в пространстве. Визуальный гид (2019)
1. Найдите угол между пересекающимися диагоналями граней куба.
2. В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AD 1 и CB 1 .
3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в одном диагональном сечении.
1) 45 0 и 45 0 .
2) 90 0 и 90 0 .
3) 30 0 и 60 0 .
4) 60 0 и 120 0 .
4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. Найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в разных диагональных сечениях.
1) 45 0 и 135 0 .
2) 90 0 и 90 0 .
3) 30 0 и 150 0 .
4) 60 0 и 120 0 .
5. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильной треугольной пирамиды.
6. Из точки, не принадлежащей плоскости опущен на нее перпендикуляр и проведена наклонная. Найдите проекцию наклонной, если перпендикуляр равен 12 см, а наклонная 15 см.
7. Найдите геометрическое место прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через данную на ней точку.
2) Плоскость, перпендикулярная данной прямой.
3) Плоскость, параллельная данной прямой.
4) Плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку.
8. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.
1) Перпендикуляр, проведенный к середине отрезка, соединяющего данные точки.
3) Плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через данные точки.
4) Плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему данные точки и проходящая через его середину.
9. Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Зная, что их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами 32,5 см, найдите наклонную.
10. Концы отрезка находятся от данной плоскости на расстоянии 26 см и 37 см. Его ортогональная проекция на плоскость равна 6 дм. Найдите отрезок.
11. Один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости, а другой наклонен к ней под углом 45 0 . Найдите угол между гипотенузой этого треугольника и данной плоскостью.
12. Найдите угол наклона отрезка к плоскости, если его ортогональная проекция на эту плоскость в два раза меньше самого отрезка.
13. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех точек окружности.
1) Центр окружности.
2) Окружность.
3) Плоскость, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр.
14. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от всех сторон ромба.
1) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через его вершину.
2) Плоскость, перпендикулярная к плоскости ромба и проходящая через его диагональ.
3) Перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через точку пересечения его диагоналей.
4) Окружность, вписанная в ромб.
15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна a , боковое ребро b .
3) 
.
16. Найдите двугранный угол j между боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1.
17. Точка A находится от одной из двух перпендикулярных плоскостей на расстоянии 4 см, а от другой на 16 см. Найдите расстояние от точки A до линии пересечения плоскостей.
18. Найдите двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 2 см, а сторона основания 4 см.
19. Точка B , удаленная от ребра двугранного угла на расстояние a , отстоит от каждой его грани на одинаковое расстояние. Найдите это расстояние, если двугранный угол равен j.
1) a sinj.
2) a cosj.
3) a sin .
4) a cos .
20. Точка E принадлежит плоскости a, точка F принадлежит плоскости b. Плоскости перпендикулярны. Ортогональные проекции отрезка EF , равного 10 см, на плоскости a и b соответственно равны 8 см и 7,5 см. Найдите проекцию отрезка EF на линию пересечения плоскостей a и a.
ОТВЕТЫ
| Номер задания | Номер теста | |||||||
| 4) | 3) | 3) | 4) | 4) | 2) | 1) | ||
| 4) | 3) | 4) | 3) | 3) | 1) | 2) | ||
| 2) | 4) | 2) | 3) | 4) | 1) | 4) | ||
| 4) | 1) | 4) | 3) | 2) | 3) | 3) | ||
| 2) | 1) | 4) | 3) | 3) | 4) | 3) | ||
| 2) | 2) | 2) | 2) | 3) | 4) | 3) | ||
| 4) | 3) | 4) | 2) | 1) | 4) | 4) | ||
| 4) | 2) | 4) | 2) | 2) | 3) | 2) | ||
| 3) | 3) | 3) | 1) | 4) | 3) | 3) | ||
| 1) | 4) | 1) | 4) | 3) | 3) | 4) | ||
| 3) | 1) | 2) | 2) | 2) | 3) | 3) | ||
| 2) | 2) | 3) | 3) | 1) | 2) | 1) | ||
| 2) | 3) | 4) | 4) | 4) | 4) | 3) | ||
| 4) | 4) | 3) | 3) | 2) | 3) | 4) | ||
| 3) | 4) | 3) | 2) | 1) | 2) | 4) | ||
| 3) | 2) | 2) | 2) | 4) | 3) | 3) | ||
| 3) | 4) | 4) | 2) | 2) | 2) | 4) | ||
| 4) | 3) | 2) | 4) | 3) | 2) | 2) | ||
| 2) | 4) | 3) | 1) | 3) | 2) | 2) | ||
| 1) | 2) | 1) | 4) | 2) | 3) | 4) | ||
Например, перпендикулярность прямых m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} записывают как m ⊥ n {\displaystyle m\perp n} .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ 10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскости
✪ стереометрия ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости
✪ Перпендикулярность прямой и плоскости. Геометрия 10-11 классы. Урок 7
✪ стереометрия ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТИ
✪ 10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространстве
Субтитры
На плоскости
Перпендикулярные прямые на плоскости
В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями y = tg α 1 x + b 1 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{1}x+b_{1}} и y = tg α 2 x + b 2 {\displaystyle y=\operatorname {tg} \alpha _{2}x+b_{2}} будут перпендикулярны, если выполнено условие α 2 = 1 2 π + α 1 {\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}\pi +\alpha _{1}} . Эти же прямые будут перпендикулярны, если tg α 1 tg α 2 = − 1 {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}=-1} . (Здесь α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} - углы наклона прямой к горизонтали)
Построение перпендикуляра
Шаг 1: (красный ) С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А" и В".
Шаг 2: (зелёный ) Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A" и В" соответственно, проходящими через точку Р. Кроме точки Р есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.
Шаг 3: (синий ) Соединяем точки Р и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой АВ.
Координаты точки основания перпендикуляра к прямой
A (x a , y a) {\displaystyle A(x_{a},y_{a})} и B (x b , y b) {\displaystyle B(x_{b},y_{b})} - прямая, O (x o , y o) {\displaystyle O(x_{o},y_{o})} - основание перпендикуляра, опущенного из точки P (x p , y p) {\displaystyle P(x_{p},y_{p})} .
Если x a = x b {\displaystyle x_{a}=x_{b}} (вертикаль), то x o = x a {\displaystyle x_{o}=x_{a}} и y o = y p {\displaystyle y_{o}=y_{p}} . Если y a = y b {\displaystyle y_{a}=y_{b}} (горизонталь), то x o = x p {\displaystyle x_{o}=x_{p}} и y o = y a {\displaystyle y_{o}=y_{a}} .
Во всех остальных случаях:
x o = x a ⋅ (y b − y a) 2 + x p ⋅ (x b − x a) 2 + (x b − x a) ⋅ (y b − y a) ⋅ (y p − y a) (y b − y a) 2 + (x b − x a) 2 {\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}} ; y o = (x b − x a) ⋅ (x p − x o) (y b − y a) + y p {\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}} .В трёхмерном пространстве
Перпендикулярные прямые
Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямой к плоскости
Определение : Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.
Признак : Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Плоскость , перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Перпендикулярные плоскости
Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.
В многомерных пространствах
Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве
Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.
Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.
В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).
Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t . Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно (4 2) = 6 {\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6} : xy , xz , xt , yz , yt , zt , и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz , yz и zt ), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt , yz и xt ).
Перпендикулярность прямой и гиперплоскости
Пусть задано n-мерное евклидово пространство (n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство
W
n
{\displaystyle W^{n}}
, а прямая l
L
1
{\displaystyle L^{1}}
и гиперплоскость с направляющим векторным пространством (где
L
1
⊂
W
n
{\displaystyle L_{1}\subset W^{n}}
,
L
k
⊂
W
n
,
k
<
n
{\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k
Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Π k {\displaystyle \Pi _{k}} , если подпространство L 1 {\displaystyle L_{1}} ортогонально подпространству L k {\displaystyle L^{k}} , то есть (∀ a → ∈ L 1) (∀ b → ∈ L k) a → b → = 0 {\displaystyle (\forall {\vec {a}}\in L_{1})\ (\forall {\vec {b}}\in L_{k})\ {\vec {a}}{\vec {b}}=0}
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .
рис. 37 |
Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а. |
рис. 38 |
Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей. Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость . |
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Замечания.
- Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.
- Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
- Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.
Задачи и тесты по теме "Тема 5. "Перпендикулярность прямой и плоскости"."
- Перпендикулярность прямой и плоскости
- Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
- Параллельность прямых, прямой и плоскости
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
- Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.
Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.
ГАОУ СПО Архангельской области «КИТ»
Контрольная работа по геометрии для студентов 1 курса (СПО)
по теме параллельность и перпендикулярность в пространстве.
Подготовила: Налетова Ирина Александровна,
преподаватель математики
г. Коряжма - 2014
Класс
10 (1 курс СПО)
Дисциплина
Математика (геометрия)
Учебник, по которому ведется преподавание
Геометрия, 10–11: Учебник для общеобразовательных учреждений.Л.С. Атанасян, Просвещение, 2010. Математика сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс. Г.В.Дорофеев. Дрофа. Москва 2002
Тема контроля
Параллельность и перпендикулярность в пространстве
Вид контроля
Форма и методы контроля
1) по степени индивидуализации (индивидуальный);
2) по манере исполнения (письменный);
3) по способу подачи контролирующих заданий (контрольная работа)
Тип контроля
Время контроля
Цель контроля
Преподавателю определить качество усвоения учебного материала, уровня овладения знаниями, умениями и навыками, предусмотренными учебной программой по математике.
Обучающемуся привести в систему усвоенный за определенное время учебный материал
Варианты имеют одинаковый уровень сложности и содержат 20 заданий с выбором ответа, каждое из которых оценивается 1б, 7 заданий с кратким ответом, каждое из которых оценивается 2б, 4 задания с развёрнутым ответом, каждое из которых оценивается 3б. Данная работа позволяет в полной мере оценить объём и качество усвоенного материала. Может использоваться в старшей школе
Критерии оценивания
Отметка «5» выставляется, если студент набрал 37 – 46 баллов.
Отметка «4» выставляется, если студент набрал 27 – 36 балл.
Отметка «3» выставляется, если студент набрал 19 – 26 баллов.
Отметка «2» выставляется, если студент набрал менее 19 баллов.
Вариант 1
А1
Какой плоскости не принадлежит точка А?
А) РD В В) АD С
С) АРС Д) ВD С
На каких плоскостях лежит прямая DB ?
А) АDC и ADB
В) ADB и ABC
С) ADB и DCB
Д) DKB и DCA
A 3
В какой точке пересекаются прямая PC и плоскость ADB ?
А) Р В) С
С) А Д) D
A 4
По какой прямой пересекаются плоскости A ВС и ADC ?
А) D В В) D С
С) АС Д) ВA
A 5
Какие прямые лежат в плоскости BDC ?
А) DB , AC ,DK . AB
В) KB , DA ,DK . CP
С) DP , DC ,DK . CA
Д) DB , DC ,DK . CB
А6
Укажите точку пересечения прямой MD с плоскостью ABC
А) D В) С
С) А Д) M
А7
Укажите прямую пересечения плоскостей АВС и АВВ 1
А) D В В) D С
С) ВС Д) A В
А8
А) α × β= с В) α ∩ β= с
С) α ║ β= с Д) α ∩ β= С
А9
Туго натянутая нить закреплена в точках 1,2,3,4,5, расположенных на стержнях SA ,SB ,SC . Укажите количество точек в которых отрезки нити соприкасаются
А) 0 В) 1
С) 2 Д) 3
А10
Как располагаются прямые AD 1 и D 1 C 1 ?
А) параллельны
В) пересекаются
С) перпендикулярны
А11
Найдите угол между прямыми AD 1 и ВВ 1
А) 180º В) 60 º
С) 90 º Д) 45 º
А12
Найдите точку пересечения прямых DC и CC 1
А) D В) С
С) А Д) К
А13
Найдите рёбра, параллельные грани АВВ 1 А 1
А) АD , ВC , A 1 D 1, B 1 С 1
В) АВ, ВC , A 1 D 1, B 1 С 1
С
) DD
1
, CC
1
, C
1 D
1, D
С
А14
Укажите рёбра, перпендикулярные плоскости АВВ 1
А) D А, ВC ,СС 1 . AB
В) СB , DA ,D 1 А 1 . C 1 А 1
С) D С, ВC ,D А. C 1 В 1
А15
Выберите верное утверждение
А) AD ║ BA В) AB D 1 С 1
С) DC ║ BC Д) D С BC
А16
Как расположены друг к другу рёбра куба, выходящие из одной вершины?
А) Перпендикулярны
В) Параллельны
А17
Отрезок В
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А18
Укажите общий перпендикуляр для прямых AD и CC 1
А) D С В) СА
С) DD 1 Д) ВС
А19
Плоскости α и β параллельны. Каково взаимное расположение прямых AD и BC ?
А) Пересекаются
В) Скрещиваются
А20
Прямые a и b параллельные и лежат в плоскости α. Через каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикулярная α . Каково взаимное расположение полученных плоскостей?
С) Параллельны Д) Совпадают
Часть 2.
В1
Через концы отрезка MN и его середину К проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках M 1, N 1 и К 1 . Найдите длину отрезка КК 1 , если отрезок MN не пересекает α и ММ 1 = 6 см, NN 1 = 2 см.
В2
Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены две параллельные прямые до пересечения в точках А 1 и В 1 . Найдите длину отрезка А 1 В 1 если АВ = 10 см.
В3
Из точки М проведены к плоскости α до пересечения в точках N и К два отрезка. Точки D и Е – середины отрезков MN и МК. Найдите длину отрезка N К, если D Е = 4 см.
В4
В5
Наклонная равна 2 см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол равный 45 º?
В6
Отрезки двух наклонных, проведённые из одной точки до пересечения с плоскостью, равны 15 и 20 см, проекция одного из отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.
В7
Дан куб АВСD А 1 В 1 С 1 D 1 . .
Чему равен угол между плоскостью А 1 В 1 С 1 D 1 и плоскостью проходящей через прямые А 1 В 1 и СD
Часть 3.
С1
Из точки А к плоскости D D .
С2
D . Найдите косинус угла АВМ.
С3
Из точки А построены три взаимоперпендикулярных отрезка АВ, АС и AD . Найдите длину отрезка СD если АС = а, ВС = в, ВD = с
С4
В кубе со стороной а найдите расстояние между прямыми ВD 1 и СС 1 .
Контрольная работа по стереометрии
Вариант 2
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А1
Какой плоскости не принадлежит точка В?
А) РD В В) АD С
С) АРС Д) ВD С
На каких плоскостях лежит прямая D А?
А) АDC и ADB
В) ADB и ABC
С) ADB и DCB
Д) DKB и DCA
A 3
В какой точке пересекаются прямая D К и плоскость ADB ?
А) Р В) К
С) А Д) D
A 4
По какой прямой пересекаются плоскости A ВС и AD В?
А) D В В) D С
С) АС Д) ВA
A 5
Какие прямые лежат в плоскости BD А?
А) DB , AC ,DK . AB
В) KB , DA ,DK . CP
С) DP , D В,D А. ВA
Д) DB , DC ,DK . CB
А6
Укажите точку пересечения прямой NC 1 с плоскостью A 1 B 1 C 1
А) D 1 В) С 1
С) А 1 Д) В 1
А7
Укажите прямую пересечения плоскостей АВD и АDD 1
А) D В В) ВВ 1
С) ВС Д) AD
А8
Прямые а и b пересекаются в точке С. Выберите верную запись:
А) a ×b = с В) a ∩ b = с
С) a ║ b = с Д) a ∩ b = С
А9
Туго натянутая нить закреплена в точках 1,2,3,4,5, 6 расположенных на стержнях SA ,SB ,SC . Укажите количество точек в которых отрезки нити соприкасаются
А) 0 В) 1
С) 2 Д) 3
А10
Как располагаются прямые DD 1 и DC ?
А) параллельны
В) пересекаются
С) перпендикулярны
А11
Найдите угол между прямыми A А 1 и ВС
А) 180º В) 60 º
С) 90 º Д) 45 º
А12
Найдите точку пересечения прямых DC и D 1 P
А) D В) С
С) А Д) К
А13
Найдите рёбра, параллельные грани АDD 1 А 1
А) ВС, CC 1 , ВВ 1, B 1 С 1
В) АВ, ВC , A 1 D 1, B 1 С 1
С) АD
, ВC
, A
1 D
1, АС
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А14
Укажите рёбра, перпендикулярные плоскости АВС
А) D А, ВC ,СС 1 . AB
В) СB , DD 1 ,D 1 А 1 . C 1 А 1
С) АА 1 , ВВ 1 ,DD 1 . C 1 С 1
А15
Выберите верное утверждение
А) AD BA В) AB D 1 С 1
С) DC ║ B В 1 Д) D С BC
А16
Можно ли провести плоскость через четыре произвольные точки пространства?
А) Да
В) Нет
А17
Отрезок ВD перпендикулярен плоскости α. СВ является::
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А18
Укажите общий перпендикуляр для прямых A В и CC 1
А) D С В) СА
С) DD 1 Д) ВС
А19
Плоскости α и β параллельны. Каково взаимное расположение прямых A С и BD ?
А) Параллельны
В) Скрещиваются
А20
Прямые
А) Пересекаются В) Скрещиваются
С) Параллельны Д) Совпадают
Часть 2. Задание с развёрнутым ответом (2 балла).
В1
Через концы отрезка MN и его середину К проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках M 1, N 1 и К 1 . Найдите длину отрезка КК 1 , если отрезок MN не пересекает α и ММ 1 = 12см, NN 1 = 4 см.
В2
Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены две параллельные прямые до пересечения в точках А 1 и В 1 . Найдите длину отрезка АА 1 если ВВ 1 = 16 см.
В3
Из точки М проведены к плоскости α до пересечения в точках N и К два отрезка. Точки D и Е – середины отрезков MN и МК. Найдите длину отрезка D Е, если N К = 4 см.
В4
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD , перпендикулярная плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до вершины С, если АС = 3 см; АD = 4 см.
В5
Наклонная равна 2 см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол равный 60 º?
В6
Отрезки двух наклонных, проведённые из одной точки до пересечения с плоскостью, равны 7 и 10 см, проекция одного из отрезков равна 8 см. Найдите проекцию другого отрезка.
В7
Дан куб АВСD А 1 В 1 С 1 D 1 . .
Чему равен угол между плоскостью А 1 В 1 С 1 D 1 и плоскостью проходящей через прямые АВ и С 1 D 1
Часть 3. Задание с развёрнутым ответом (3 балла).
С1
Из точки А к плоскости α проведены два отрезка АС и АВ. Точка D принадлежит АВ, точка Е принадлежит АС. D Е параллельна α и равна 5 см. Найти длину отрезка ВС, если .
С2
Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВС D к е го плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что . Найдите косинус угла АВМ.
С3
Из точки А построены три взаимоперпендикулярных отрезка АВ, АС и AD . Найдите длину отрезка ВD если АС = а, ВС = в, СD = с
С4
В кубе со стороной а найдите расстояние между прямыми В 1 D и АА 1 .
Контрольная работа по стереометрии
Вариант 3
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А1
Какой плоскости не принадлежит точка С?
А) РD В В) АD С
С) АРС Д) ВD С
На каких плоскостях лежит прямая D С?
А) АDC и ADB
В) ADB и ABC
С) ADB и DCB
Д) D СB и DCA
A 3
В какой точке пересекаются прямая D М и плоскость A СB ?
А) Р В) С
С) А Д) D
A 4
По какой прямой пересекаются плоскости A ВС и ВDC ?
А) D В В) ВС
С) АС Д) ВA
A 5
Какие прямые лежат в плоскости B АC ?
А) АB , AC ,СР. СB
В) KB , DA ,DK . CP
С) DP , DC ,DK . CA
Д) DB, DC,DK. CB
А6
Укажите точку пересечения прямой NA 1 с плоскостью A 1 C 1 D 1
А) D 1 В) В 1
С) А 1 Д) N 1
А7
Укажите прямую пересечения плоскостей АВС и D СС 1
А) D В В) D С
С) ВС Д) A В
А8
Плоскости α и β пересекаются по прямой b . Выберите верную запись:
А) α × β= b В) α ∩ β= B
С) α ║ β= b Д) α ∩ β= b
А9
Туго натянутая нить закреплена в точках 1,2,3,4,5, 6 расположенных на стержнях a ,b ,c . Укажите количество точек в которых отрезки нити соприкасаются
А) 0 В) 1
С) 2 Д) 3
А10
Как располагаются прямые BP и D 1 C 1 ?
А) параллельны
В) скрещиваются
С) перпендикулярны
А11
Найдите угол между прямыми AD 1 и А 1 В 1
А) 180º В) 60 º
С) 90 º Д) 45 º
А12
Найдите точку пересечения прямых D А и АА 1
А) D В) С
С) А Д) К
А13
Найдите рёбра, параллельные грани АВСD
А) АD , ВC , A 1 D 1, B 1 С 1
В) АВ, ВC , A 1 D 1, B 1 С 1
С) А 1 В 1 , В 1 C
1 , A
1 D
1, D
1 С 1
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А14
Укажите рёбра, перпендикулярные плоскости СDD 1
А) D А, ВC ,СС 1 . AB
В) СB , DA ,D 1 А 1 . C 1 В 1
С) D С, В 1 A 1 ,B А. C 1 D 1
А15
Выберите верное утверждение
А) AD ║ DC В) AB D 1 С 1
С) DC ║ BC Д) D С DD 1
А16
Две точки круга лежат в плоскости. Лежит ли весь круг в этой плоскости?
А)Нет
В) Да
А17
Отрезок ВD перпендикулярен плоскости α. ВD является::
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А18
Укажите общий перпендикуляр для прямых СD и ВВ 1
А) D С В) СА
С) DD 1 Д) ВС
А19
Отрезки АВ и СD лежат в плоскостях α и β. Прямые АС и ВD параллельны. Каково взаимное расположение плоскостей α и β?
А) Пересекаются
В) Параллельны
А20
Три луча АВ, АС, АК попарно перпендикулярны. Как расположен каждый из лучей по отношению плоскости, определяемой двумя другими лучами.
А) Перпендикулярен В) Скрещивается
С) Параллелен Д) Совпадает
Часть 2. Задание с развёрнутым ответом (2 балла).
В1
Через концы отрезка MN и его середину К проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках M 1, N 1 и К 1 . Найдите длину отрезка NN 1 , если отрезок MN не пересекает α и ММ 1 = 6 см, KK 1 = 4 см.
В2
Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены две параллельные прямые до пересечения в точках А 1 и В 1 . Найдите длину отрезка АВ если А 1 В 1 = 3 см.
В3
Из точки М проведены к плоскости α до пересечения в точках N и К два отрезка. Точки D и Е – середины отрезков MN и МК. Найдите длину отрезка D Е, если N К = 12см.
В4
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD , перпендикулярная плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до вершины С, если АС = 12 см; АD = 16 см.
В5
Наклонная равна 2 см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол равный 30 º?
В6
В7
Дан куб АВСD А 1 В 1 С 1 D 1 . .
Чему равен угол между плоскостью А 1 В 1 С 1 D 1 и плоскостью проходящей через прямые А 1 D 1 и СВ
Часть 3. Задание с развёрнутым ответом (3 балла).
С1
Из точки А к плоскости α проведены два отрезка АС и АВ. Точка D принадлежит АВ, точка Е принадлежит АС. D Е параллельна α и равна 12 см. Найти длину отрезка ВС, если .
С2
Из точки О пересечения диагоналей квадрата АВС D к е го плоскости восстановлен перпендикуляр ОМ так, что . Найдите косинус угла АВМ.
С3
Из точки А построены три взаимоперпендикулярных отрезка АВ, АС и AD . Найдите длину отрезка СD если АС = 3 см, ВС = 4 см,
ВD = 5 см
С4
В кубе со стороной а найдите расстояние между прямыми D В 1 и СС 1 .
Контрольная работа по стереометрии
Вариант 4
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А1
Какой плоскости не принадлежит точка D ?
А) РD В В) АD С
С) АРС Д) ВD С
На каких плоскостях лежит прямая СB ?
А) АDC и ADB
В) СDB и ABC
С) ADB и DCB
Д) DKB и DCA
A 3
В какой точке пересекаются прямая DM и плоскость ADB ?
А) Р В) С
С) А Д) D
A 4
По какой прямой пересекаются плоскости A ВС и PDC ?
А) D В В) D С
С) P С Д) ВA
A 5
Какие прямые лежат в плоскости PDC ?
А) DB , AC ,DK . AB
В) KB , DA ,DK . CP
С) DP , DC ,DM . CP
Д) DB , DC ,DK . CB
А6
Укажите точку пересечения прямой NC с плоскостью ABD
А) D В) С
С) А Д) M
А7
Укажите прямую пересечения плоскостей АВС и CDD 1
А) D В В) D С
С) ВС Д) A В
А8
Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Выберите верную запись:
А) α × β= с В) α ∩ β= с
С) α ║ β= с Д) α ∩ β= С
А9
Туго натянутая нить закреплена в точках 1,2,3,4,5, 6 расположенных на стержнях a ,b ,c .d Укажите количество точек в которых отрезки нити соприкасаются
А) 0 В) 1 С) 2 Д) 3
А10
Как располагаются прямые DD 1 и AA 1 ?
А) параллельны
В) пересекаются
С) перпендикулярны
А11
Найдите угол между прямыми AD и DC
А) 180º В) 60 º
С) 90 º Д) 45 º
А12
Найдите точку пересечения прямых AB и AD 1
А) D В) С
С) А Д) К
А13
Найдите рёбра, параллельные грани DCC 1 D 1
А) АВ, ВВ 1 , A 1 В 1, AA 1
В) АD , ВC , A 1 D 1, B 1 С 1
С) АD
, ВC
, A
1 D
1, D
С
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве Часть 1. Задание с выбором ответа (1 балл).
А14
Укажите рёбра, перпендикулярные плоскости АDD 1
А) D А, ВC ,СС 1 . AB
В) СB , DA ,D 1 А 1 . C 1 А 1
С) D С, В 1 A 1 ,B А. D 1 C 1
А15
Выберите верное утверждение
А) AD ║ BC В)
А17
Отрезок ВD перпендикулярен плоскости α. СD является::
А) Перпендикуляром
В) Наклонной
С) Проекцией наклонной
А18
Укажите общий перпендикуляр для прямых B С и DD 1
А) D С В) СА
С) DD 1 Д) ВС
А19
Плоскости α и β параллельны. Каково взаимное расположение прямых AB и CD ?
А) Параллельны
В) Скрещиваются
А20
Прямые a и b -скрещивающиеся.Через а проведена плоскость α ║ b ,. Через прямую b проведена плоскость β║а, . Каково взаимное расположение плоскостей α и β?
А) Пересекаются В) Скрещиваются
С) Параллельны Д) Совпадают
Часть 2. Задание с развёрнутым ответом (2 балла).
В1
Через концы отрезка MN и его середину К проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках M 1, N 1 и К 1 . Найдите длину отрезка NN 1 , если отрезок MN не пересекает α и ММ 1 = 10 см, KK 1 = 7см.
В2
Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из плоскостей проведены две параллельные прямые до пересечения в точках А 1 и В 1 . Найдите длину отрезка А 1 В 1 если АВ = 6 см.
В3
Из точки М проведены к плоскости α до пересечения в точках N и К два отрезка. Точки D и Е – середины отрезков MN и МК. Найдите длину отрезка N К, если D Е = 10 см.
В4
Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD , перпендикулярная плоскости треугольника. Чему равно расстояние от точки D до вершины С, если АС = 6 см; АD = 8 см.
В5
Наклонная равна 2 см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если наклонная составляет с плоскостью угол равный 60 º ?
В6
Отрезки двух наклонных, проведённые из одной точки до пересечения с плоскостью, равны 4 и 5 см, проекция одного из отрезков равна 4 см. Найдите проекцию другого отрезка.
В7
Дан куб АВСD А 1 В 1 С 1 D 1 . .
Чему равен угол между плоскостью А 1 В 1 С 1 D 1 и плоскостью проходящей через прямые C 1 D 1 и AB
Часть 3. Задание с развёрнутым ответом (3 балла).
Из точки А построены три взаимоперпендикулярных отрезка АВ, АС и AD . Найдите длину отрезка СD если АС = c , ВС = в, ВD = a
С4
В кубе со стороной а найдите расстояние между прямыми AC 1 и BB 1 .
Ответы для контрольной работы по стереометрии.
Вариант
Вариант
Вариант
√2a 2 +c 2 -b 2
a 2 √2/2
1 c м
√c 2 +b 2 -2a 2
a 2 √2/2
a 2 √2/2
√2a 2 +c 2 -b 2
a 2 √2/2
